Изучение действия модифицированного аппарата Гербста на нижнюю челюсть методом конечных элементов

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

В современной ортодонтии планирование лечения должно базироваться на подтвержденных научных и клинических данных. Перед началом лечения важно знать, как челюстно-лицевые структуры будут реагировать на каждый из возможных методов лечения.

В связи с появлением компьютерных технологий, с целью изучения ортодонтических сил и их воздействия на костную ткань, стало возможным применение метода конечных элементов [1]. Метод в настоящее время рассматривается как важный инструмент исследования биомеханики в ортодонтии.

Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод, используемый для решения дифференциальных уравнений и задач математического моделирования. Он применяется для аппроксимации геометрических областей и вычисления распределений физических полей внутри них. Исходная область разбивается на более простые подобласти, называемые конечными элементами, после чего решаются уравнения граничных условий для каждого элемента. Результатом является визуальное отображение областей с численными значениями физических величин. Вычислительные пакеты МКЭ обычно содержат визуализацию, которая помогает наблюдать внутренние напряжения, деформации и смещения по мере их взаимодействия во времени. Причина, по которой важно анализировать паттерны напряжений в челюстно-лицевой области, возникающие во время ортодонтического лечения, заключается в том, что движения зубов происходят тогда, когда ортодонтическая сила, приложенная к зубам и компактной кости, оказывает напряжение на всю периодонтальную связку, которая инициирует клеточный ответ. Известно, что ремоделирование кости основано на характере прикладываемом к ней напряжения либо через соответствующее напряжение в матриксе мягких тканей, либо от экзогенной силы [1–4].

Преимущества МКЭ:

1) применим к любой конструкции с любой геометрией;

2) неинвазивность, с его помощью легко визуализировать пред-, интра- и послеоперационные этапы лечения;

3) воспроизводимость не влияет на свойства материала;

4) экономичность;

5) не занимает много времени по сравнению с клиническими исследованиями.

Среди недостатков МКЭ можно отметить вводящие в заблуждение результаты при недостоверных данных, указанных в программном обеспечении. В связи с тем, что биологические структуры не имеют простой геометрии, МКЭ становится более достоверным при применении правильных физических свойств биологических тканей. Он не учитывает рост биологических тканей, а показывает только распределение напряжения и смещение, при этом исследуемая конструкция находится под нагрузкой и никакой материал из нее не добавляется и не удаляется [5].

Цель работы — изучение методом конечных элементов воздействия аппарата Гербста на костные структуры нижней челюсти.

Задачи исследования: 1) разработать модель нижней челюсти, пригодную для применения МКЭ и изучить, может ли она дать клинически совместимые результаты; 2) провести анализ модели с вычислением максимального напряжения, максимального смещения, деформации, эквивалентных напряжений, главного напряжения, возникающих в нижней челюсти при работе модифицированного аппарата Гербста.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Для решения поставленных задач было решено разработать вязкоупругую модель нижней челюсти и приложить к ней усилия, которые модифицированный аппарат Гербста будет передавать на нижнюю челюсть.

Из биомеханики известно, что компактная кость является вязкоупругим материалом, поэтому вполне логично моделировать ее как таковую [5, 6]. Вязкоупругость — это свойство материалов, которое при деформации проявляет как вязкие, так и упругие характеристики. Таким образом, материалы ведут себя и как жидкость, и как твердое вещество.

За основу описания состояния костной ткани нижней челюсти были выбраны модели Maxwell и Voigt, которые представлены на рисунке 1, а, b.

 

Рис. 1. а — Модель Maxwell; b — модель Voigt; c — модель Kelvin. Пояснения в тексте

Fig. 1. a, Maxwell model; b, Voigt model; c, Kelvin model. Explanations are provided in the text

 

Модель Maxwell является последовательной системой амортизатора (демпфера) и пружины. Эта модель показывает, что приложенная сила к пружине и амортизатору одинакова, однако при удалении силы пружина возвращается в прежнее состояние, а амортизатор — нет. При начальном смещении (деформации) эта модель допускает постепенное уменьшение напряжения, а при постоянном нагружении происходит постепенное смещение — явление, известное как ползучесть [7].

Модель Voigt, используемая для изучения биологических тканей, таких как кортикальная кость, подразумевает параллельное действие амортизатора (демпфера) и пружины. В этой модели сила сосредоточена в амортизаторе с начала ее приложения до развития максимальных усилий. Параллельно развиваются усилия до максимума и в пружине.

В работе мы использовали модифицированную модель Maxwell с параллельным упругим элементом (модель Kelvin). Ее также называют стандартной линейной моделью (рис. 1, c). Большинство реальных вязкоупругих материалов демонстрируют поведение, которое лучше всего описывается именно моделью Kelvin, которая обладает свойствами моделей как Maxwell, так и Voigt. Таким образом, данная модель представляет наиболее удачную идеализацию поведения кортикальной кости.

Для изучения состояния костной ткани, с учетом наличия коллагена, нами использовались параметры Prony, помогающие моделировать, как материал реагирует на нагрузки со временем, особенно когда он деформируется или восстанавливается. Это позволило представить костную ткань нижней челюсти, как материал, содержащий упругие и вязкие элементы, что позволило из сложной реологической характеристики выделить простые составляющие, облегчая анализ и интерпретацию результатов исследования. «Золотым стандартом» для оценки напряжения, распределенного по кортикальной кости, является определение максимального главного напряжения, а также напряжения von Mises. Это помогает оценить податливость (или разрушение) пластичного материала. Идея оценки обоих напряжений основана на том, что напряжение von Mises — мера общего напряжения, распределенного на нижней челюсти во всех осевых плоскостях. Максимальное основное напряжение, напротив, ограничено напряжением, возникающим в определенной области при одноосном нагружении.

Для моделирования нижней челюсти были использованы конусно-лучевые компьютерные томограммы (КЛКТ) нижней челюсти, преобразованные в 3-мерные модели (рис. 2). Выбрана КЛКТ взрослого мужчины, 25 лет, с дистальным соотношением зубных рядов. Анализ 3-мерной модели произведен при помощи программы ANSYS. Геометрия модели была импортирована и объединена в сетку с помощью различных модулей программного обеспечения ANSYS (рис. 3). Заданы следующие габариты модели: ширина 140 мм, длина 180 мм, высота 100 мм. В качестве свойств материала были выбраны модуль Юнга (модуль упругости) и коэффициент Пуассона (механическое свойство материала, которое является мерой его деформации перпендикулярно направлению нагружения) в соответствии с таблицей 1 [8–13].

 

Рис. 2. Трехмерная модель нижней челюсти

Fig. 2. 3D model of the mandible

 

Рис. 3. Сетка метода конечных элементов

Fig. 3. Finite element method grid

 

Таблица 1. Модуль упругости, коэффициент Пуассона и другие характеристики материалов

Table 1. Modulus of elasticity, Poisson’s ratio and other characteristics of materials

Область измерения	Свойства материала
	Модуль упругости, ГПа	коэффициент Пуассона	Плотность, г/см3	Предел текучести, МПа	Предел прочности, МПа
Эмаль зубов	20	0,3	1,45	250	360
Кортикальная кость	17	0,3	2	250	460

 

В области первого моляра были приложены силы 200 Н по вертикали и 300 Н по горизонтали, которые имитировали силу, передаваемую жевательными мышцами через аппарат Гербста к нижней челюсти и зубным рядам в статическом положении. При имитации максимального напряжения мышц, поднимающих нижнюю челюсть, приложенная суммарная сила составляла 582 Н, с нагрузкой продолжительностью в 3 с: нагрузка — выдержка — разгрузка (каждый этап по 1 с). Эти усилия были получены исходя из средней силы жевательного давления и сил, развиваемых жевательными мышцами, описанными в научной литературе [8]. Процесс анализа конечных элементов был разделен на 3 этапа: 1) этап предварительной обработки; 2) этап обработки и 3) этап постобработки.

Этап предварительной обработки. После создания модели и определения плотности сетки последняя была скомпонована так, как показано на рисунке 3. В таблице 2 представлены распределения Prony. Эти свойства будут определять поведение материалов после приложения определенной нагрузки. Относительные модули представляют собой соотношения модулей упругости (или жесткости) различных составляющих распределения Prony к общей модели и используются для вычисления вклада каждой составляющей в общую жесткость материала. Время релаксации определяет, как быстро материал может реагировать на приложенные силы и насколько быстро он может изменить свою форму или структуру в ответ на их воздействие.

 

Таблица 2. Распределения Prony

Table 2. Prony distributions

Относительные модули, i	Время релаксации, s
0,45	5
0,07	35
0,04	400

 

После определения свойств материала важно задать граничные условия (т. е. ограничение движение узла в одном или нескольких направлениях по осям X, Y и Z). Это делает модель нижней челюсти стабильной и позволяет визуализировать деформацию и возникающие напряжения. Граничные условия были наложены на суставные отростки нижней челюсти (рис. 4).

 

Рис. 4. Усилия соответствуют наложению модифицированного аппарата Гербста. Добавлены вязкоупругие характеристики кортикальной кости. Граничные условия наложены на суставные отростки нижней челюсти

Fig. 4. The force corresponds to the use of a modified Herbst appliance. Viscoelastic properties of the cortical bone we added. Boundary conditions were applied to articular processes of the mandible

 

Нами была также создана модель нижней челюсти с физиологическим креплением жевательных мышц для симуляции их максимального напряжения с фиксированным модифицированным аппаратом Гербста (рис. 5).

 

Рис. 5. Модель нижней челюсти с физиологическим креплением жевательных мышц и фиксированным модифицированным аппаратом Гербста

Fig. 5. Model of the mandible with physiologically attached masseter muscles and a fixed modified Herbst appliance

 

Этап обработки. Цель этапа заключалась в том, чтобы увидеть, как напряжение и деформация костной ткани нижней челюсти развиваются и изменяются на протяжении 6 мес. лечения. В данном исследовании интерес представляла величина смещения, а также изменение напряжений вследствие ползучести.

Проведена имитация поведения вязкоупругой модели нижней челюсти в течение 1 с на момент начала, середины и завершения лечения.

Этап постобработки. Демонстрирует результат воздействия сил на костную ткань с точки зрения смещения и распределения напряжений. Результаты отображаются в виде графических цветных контуров с величинами. Это облегчает идентификацию паттернов различных выходных данных. Цвета варьируют от красного до синего.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Первый расчетный случай. Усилия соответствуют закреплению модифицированного аппарата Гербста, добавлены вязкоупругие характеристики кортикальной кости.

В начале лечения максимальная величина смещения составила 0,89 мм, а спустя 6 мес. — 1,97 мм. Смещение происходило в направлении кпереди и книзу (ротация по часовой стрелке). Величина смещения убывает при движении от резцов к последним молярам. Можно сделать вывод, что происходит смещение нижнего зубного ряда и тела нижней челюсти вперед и вниз (рис. 6).

 

Рис. 6. Максимальное смещение в начале лечения (a) и через 6 мес. (b)

Fig. 6. Maximum displacement at the start of treatment (a) and in 6 months (b)

 

Возвратные упругие деформации достигают максимума в ретромолярной области, вырезке и ветви нижней челюсти, в области контактных пунктов между молярами, премолярами. Область максимального напряжения сжатия зафиксирована в области суставных отростков, контактных поверхностях резцов, тела нижней челюсти и подбородка (рис. 7). В начале лечения максимальное значение упругой деформации составляло 0,6 %, а спустя 6 мес. — 1,2 % от предельно допустимого значения. Можно сделать вывод, что ожидаемая упругая деформация будет расти с течением времени, однако при этих значениях не возникают опасения перелома кортикальной кости или возникновения дефектов эмали ввиду высокого предела упругости костной ткани и эмали (250 МПа). Значения прочности биоматериалов сильно варьируют, но для зубной эмали обычно прочность выше.

 

Рис. 7. Возвратные упругие деформации в начале лечения (a) и через 6 мес. (b)

Fig. 7. Return elastic strain at the start of treatment (a) and in 6 months (b)

 

Напряжения von Mises расположены в ретромолярной области, вырезке и ветви нижней челюсти, в области контактных пунктов между молярами, премолярами. Значение эквивалентных напряжений достигает значения 0,28 МПа в начале лечения и 0,37 МПа после 6 мес. лечения. Предельное значение текучести для кортикальной кости и эмали составляют 250 МПа. Полученные значения напряжений составляют менее 0,1 % от этого значения, следовательно, требования к запасу прочности соблюдаются (рис. 8). В ряде случаев мы используем ортодонтические имплантаты в ретромолярной области в сочетании с модифицированным аппаратом Гербста. Возникающие напряжения не несут риска нарушения стабильности ортодонтических имплантатов в данной зоне.

 

Рис. 8. Напряжения von Mises в начале лечения (a) и через 6 мес. (b)

Fig. 8. Von Mises strain at the start of treatment (a) and in 6 months (b)

 

Области главного напряжения в начале лечения и через 6 мес. локализованы по всей нижней челюсти и зубному ряду (рис. 9). Наибольшее значение фиксировано в ретромолярной области и в середине ветви нижней челюсти и составляет 0,317 МПа в начале лечения и 0,32 МПа через 6 мес. Минимален риск возникновения дефектов кортикальной кости и нарушения стабильности ортодонтических имплантатов в этой области в виду высокого предела прочности костной ткани.

 

Рис. 9. Области главного напряжения в начале лечения (a) и через 6 мес. (b)

Fig. 9. Key areas of strain at the start of treatment (a) and in 6 months (b)

 

В таблице 3 представлены значение исследуемых параметров и их характеристики.

 

Таблица 3. Сравнение напряжения von Mises и главного напряжения до лечения и спустя 6 мес.

Table 3. Comparison of von Mises voltage and main voltage before treatment and after 6 months

Изменения	Напряжение von Mises	Главное напряжение
В начале лечения, МПа	0,28	0,317
Через 6 мес., МПа	0,37	0,32
Разница, %	37	0,94

 

Напряжение von Mises в модели вязкоупругого материала увеличивается к 6 мес. примерно на 37 % от начала лечения, тогда как значение главного напряжения не изменяется. Это связано с непрерывным приложением многоосной нагрузки в течение определенного периода. Однако в общей картине эти силы все равно не оказывают значительного влияния на состояние костной ткани, эмали зубов и дополнительной несъемной ортодонтической аппаратуры.

Второй расчетный случай. Усилия соответствуют закреплению модифицированного аппарата Гербста и мышц, поднимающих нижнюю челюсть, добавлены вязкоупругие характеристики кортикальной кости.

Максимальное смещение расположено в области угла нижней челюсти и венечного отростка, его величина составила 0,7 мм (рис. 10). Стоит отменить, что это именно те области, куда крепятся жевательная и височная мышцы, прямым образом участвующие в действии аппарата во время жевания. Для вязкоупругих материалов процесс смещения не линейный, что продемонстрированно на рисунке 11. При постоянной нагрузке деформация увеличивается.

 

Рис. 10. Максимальное смещение при максимальном напряжении мышц, поднимающих нижнюю челюсть, с фиксированным аппаратом

Fig. 10. Maximum displacement during the maximum strain of mandibular elevator muscles with a fixed appliance

 

Рис. 11. График деформации (ось абсцисс — время в секундах, по оси ординат — деформация)

Fig. 11. Strain curve (X-axis: time, seconds; Y-axis: strain)

 

Возвратные упругие деформации достигают максимума в области дистальной поверхности нижнего второго моляра (2 %). В областях суставного и венечного отростков, угла нижней челюсти они составляют 0,7 %, язычной поверхности кортикальной кости в области нижнего второго моляра — 1 % (рис. 12). При этих значениях не возникает опасений перелома кортикальной кости или возникновения дефектов эмали ввиду высокого предела текучести костной ткани и эмали (250 МПа).

 

Рис. 12. Возвратные упругие деформации при максимальном напряжении мышц, поднимающих нижнюю челюсть, с фиксированным аппаратом

Fig. 12. Return elastic strain during the maximum strain of mandibular elevator muscles with a fixed appliance

 

Напряжения von Mises достигают максимума в язычной области кортикальной кости — 0,9 МПа (0,2 % от предельно допустимых значений), в области суставного и венечного отростков, угла нижней челюсти они составляют 0,45 МПа (0,01 % от предельно допустимых значений) (рис. 13).

 

Рис. 13. Напряжения von Mises при максимальном напряжении мышц, поднимающих нижнюю челюсть, с фиксированным аппаратом

Fig. 13. Von Mises strain during the maximum strain of mandibular elevator muscles with a fixed appliance

 

Области главного напряжения локализованы по всей нижней челюсти и зубному ряду (от зуба 3.4 до 4.4). Наибольшее значение зафиксировано в области ветви нижней челюсти, оно составляет 0,48 МПа (рис. 14). Минимален риск возникновения дефектов кортикальной кости.

 

Рис. 14. Области главного напряжения при максимальном напряжении мышц, поднимающих нижнюю челюсть, с фиксированным аппаратом

Fig. 14. Key areas of strain during the maximum strain of mandibular elevator muscles with a fixed appliance

 

ВЫВОДЫ

1. С применением метода конечных элементов разработана 3-мерная модель нижней челюсти со свойствами, приближенными к костной ткани. Полученные данные смещения приближены к эффектам, наблюдаемым клинически.
2. Изучено состояние костной ткани на 3-мерной модели нижней челюсти при применении аппарата Гербста. Так максимальная величина смещения спустя 6 мес. от начала лечения составила 1,964 мм; максимальное значение упругой деформации — 1,2 % от предельно допустимого значения; возникающие напряжения составляют менее 0,1 % от предельно допустимых значений. При симуляции жевательного процесса максимальное смещение расположено в области угла нижней челюсти и венечного отростка, его величина составила 0,7 мм; упругие деформации достигают максимума в области дистальной поверхности нижнего второго моляра, достигая 2 % от предельно допустимых значений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение поведения ортодонтических материалов и аппаратов МКЭ имеет большие перспективы для дальнейших исследований [14, 15]. Использование вязкоупругой модели челюсти при этом анализе позволяет имитировать эффекты, наиболее приближенные к реальной, наблюдаемой клинически картине. Учитывая ограничения данного метода, для достижения наиболее достоверных результатов важно задавать максимально большой спектр характеристик исследуемых объектов, начиная от размеров модели и заканчивая физическими свойствами биологических сред. Мы надеемся, что данное исследование положит начало другим работам по данной тематике.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией. Вклад каждого автора: Н.Д. Пирский — сбор и обработка материалов, написание текста; Р.А. Фадеев — концепция и дизайн исследования.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при написании статьи.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. All authors have made a significant contribution to the development of the concept, research, and preparation of the article, as well as read and approved the final version before its publication. Personal contribution of the authors: N.D. Pirskii — collecting and preparation of samples, writing the text; R.A. Fadeev — experimental design.

Funding source. The authors claim that there is no external funding when writing the article.

Competing interests. The authors declare the absence of obvious and potential conflicts of interest related to the publication of this article.

Об авторах

Никита Дмитриевич Пирский

Медицинский центр «Романовский»

Автор, ответственный за переписку.
Email: nikita1996pirskii@gmail.com
ORCID iD: 0009-0008-1853-9510
SPIN-код: 5157-9593

врач-ортодонт

Россия, Санкт-Петербург

Роман Александрович Фадеев

Северо-Западный государственный медицинский университет им. И. И. Мечникова

Email: sobol.rf@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3467-4479
SPIN-код: 4556-5177

д-р мед. наук, профессор, заведующий кафедрой ортопедической стоматологии, ортодонтии и гнатологии

Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы